外尔斯特拉斯-斯通定理

[拼音]:Wai’ersitelasi-Sitong dingli

[外文]:Weierstrass-Stone theorem

函式逼近论中的基本定理。外尔斯特拉斯定理是关于实变函式逼近的定理,它本身包含两个结论:外尔斯特拉斯第一定理和外尔斯特拉斯第二定理。它们是相互独立的,但又有联络,都是1885年由K.外尔斯特拉斯所得到的。斯通定理是外尔斯特拉斯定理在抽象空间中的推广。这个定理还可以推广到用抽象元素的线性组合及其乘积来实现逼近。由斯通定理可以得到很多具体的逼近定理。

外尔斯特拉斯第一定理对于任意一个在闭区间[α,b)]上的连续函式ƒ(x),存在多项式序列{pn(x)},它在[α,b)]上一致收敛到ƒ(x)。

外尔斯特拉斯第二定理对于任意一个在实轴上以2π为周期的连续函式g(x),存在三角多项式序列{Tn(x)},它在实轴上一致收敛到g(x)。

斯通定理1937年,斯通在抽象空间中研究了逼近定理。设A是某个度量空间中的集合,它至少含有两个不同的元素,且成立有限覆盖定理(或是紧的豪斯多夫拓扑空间)。设G是A上的连续函式集合,它构成线性空间且是环。此外,G还具有性质:对于A中任意两个不同的元素x1,x2,在G中存在函式p(x),使p(x1)≠p(x2),则对于A上的任意连续函式ƒ(x),在G中存在函式序列{Qn(x)},它在A上一致收敛到ƒ(x)。

由斯通定理,可以推出多维空间中的外尔斯特拉斯定理,以及在实轴上用有理函式来逼近在实轴上连续且

存在的函式ƒ(x)的定理等。

这些定理在复平面上还有各种推广。

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